Transformasi Galileo dan Lorentz dalam Redefinisi Relativitas

28 Desember 2009 at 1:09 am 3 komentar

oleh yohan suryanto, yohan@rambinet.com

Transformasi Galileo dan Transformasi Lorentz kita kenal dalam pembahasan gerak. Berdasarkan teori relativitas khusus, transformasi Galileo hanya berlaku untuk kecepatan yang relative rendah, jauh lebih lambat dibanding  kecepatan cahaya. Sementara menurut teori relativitas khusus, transformasi Lorentz berlaku umum untuk semua kecepatan. Namun setelah kita memasukkan postulat ketiga dalam redefinisi relativitas, bisa dibuktikan bahwa transformasi Galileo adalah transformasi inersia dan berlaku umum untuk semua kecepatan pengamat. Sementara itu, dalam transformasi Lorentz ditemukan pengabaian fundamental pada arah sebaran cahaya dari objek kepada pengamat yang mengakibatkan tidak terpenuhinya kondisi tertentu dalam konsep koordinat ruang dan waktu.

Konsep Titik Materi dalam Dimensi Ruang dan Waktu :

Dalam konteks makrokosmos dan mikrokosmos, koordinat ruang dan waktu ditentukan oleh koordinat ruang dan koordinat waktu. Jika P dan P’ adalah suatu titik materi dalam dimensi ruang dan waktu, maka P dan P’ akan berada dalam koordinat yang sama persis, hanya dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri. Karena jika P adalah materi yang berbeda dengan P’, maka dalam waktu yang sama akan selalu ada jarak antara P dengan P’ sedemikian hingga jarak P-P’ > 0 satuan jarak. Dengan demikian dalam titik original 0 seperti dalam gambar 1 berikut, jika materi P mewakili titik original dan P’ juga mewakili titik original yang sama dalam koordinat ruang dan waktu, hanya mungkin terjadi jika dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri.

gambar 1 : Konsep Titik dalam Dimensi Ruang dan Waktu

Dalam konsep ini, titik materi P bisa memiliki jarak dengan P’ (materi yang sama dengan P), jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu P-P’ ≠ 0. Materi P akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak. Untuk rentang waktu tertentu dalam dimensi ruang, posisi koordinat P dan P’ bisa digambarkan seperti gambar 2 berikut.

Gambar 2 : Koordinat materi bergerak P dan O dalam waktu yang berbeda

Demikian juga dengan titik materi O (x,y,z), hanya mungkin menempati ruang dan waktu yang sama dengan titik materi O’(x’,y’,z’),  jika dan hanya jika O adalah O’ itu sendiri. Dalam konsep ini, materi O akan memiliki jarak dengan O’, jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu O-O’ ≠ 0. Materi O akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak. Pada rentang waktu dalam dimensi ruang, posisi koordinat O dan O’ juga bisa digambarkan seperti gambar 2 di atas.

Jika koordinat ruang diwakili oleh koordinat  x, y dan z, maka titik temu dalam koordinat ruang dan waktu selain harus memiliki nilai x, y dan z yang sama, juga harus berada dalam waktu yang sama. Begitu juga dengan titik mula kejadian dalam ruang dan waktu, hanya akan valid jika dan hanya jika dimulai dari koordinat ruang yang sama dan dalam waktu yang sama. Dengan kata lain, titik temu dan titik mula kejadian adalah suatu titik dalam koordinat ruang waktu sedemikian hingga nilai x, y, z dan t bernilai sama bagi pengamat atau objek tertentu.

Transformasi Galileo :

Sesuai dengan konsep koordinat ruang dan waktu diatas, jika kita ingin menggambarkan keadaan dua pengamat sebagai acuan dalam waktu yang sama, tentu harus ada dua pengamat yang berbeda, misalnya P1 dan P2 seperti dalam gambar 3 berikut :

Gambar 3 : Pengamat P1 dan P2 sedang mengamati objek O

Pengamat P1 diam atau relatife diam, pengamat P2 relatif bergerak dan Objek O relative bergerak. Marilah kita memotret koordinat ruang kejadian tersebut dalam suatu rentang waktu. Dalam rentang waktu yang lebih besar dari epsilon (ε) waktu, posisi P1 adalah tetap dalam tempatnya, sementara posisi P2 dan O berada dalam ujung panah merah dalam dimensi ruang.

Berdasarkan tulisan sebelumnya (Redefinisi Relativitas :  Kaitan Konsep Kesinkronan dan Ketidaksinkronan Waktu , Konsep Ruang Inersia, Konsep Kecepatan Inersia dan Relative), waktu inersia, ruang inersia dan kecepatan inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Dengan demikian, rentang waktu pemotretan kejadian inersia O adalah sama bagi P1 dan P2. Jika posisi O menurut P1 dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

xo = f(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu x adalah vox=df(t)/dt

yo =g(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu y adalah voy=dg(t)/dt

zo=h(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu z adalah voz=dh(t)/dt

Dan posisi P2 menurut P1 dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

x2=h(t), dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah v2x=dh(t)/dt

y2=i(t), dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah v2y=di(t)/dt

z2=j(t), dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah v2z=dj(t)/dt

Ruang inersia menurut P2 adalah sama menurut P1, dengan demikian koordinat ruang inersia O menurut P1 dan P2 adalah juga sama. Dalam setiap waktu t dalam rentang waktu tersebut, posisi O menurut P2 adalah :

x’o = f(t) – h(t)

y’o= g(t) – i(t)

z’o = h(t)- j(t)

Karena waktu inersia sama bagi semua pengamat, maka kecepatan O menurut P2 bisa dituliskan menjadi:

Vox’ = dx’o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = vox-v2x

Voy’ = dy’o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = voy-v2y

Voz’ = dz’o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = voz-v2z

Dengan demikian transformasi Galileo adalah transformasi ruang dan waktu inersia, berlaku sama untuk semua kecepatan pengamat dan untuk semua kecepatan objek. Kecepatan relative inersia benda menurut pengamat yang satu dengan yang lainnya juga memenuhi transformasi Galileo, untuk semua kecepatan pengamat dan objek.

Tranformasi Lorentz

Cahaya merambat dengan kecepatan tertentu, dalam ruang hampa sebesar c. Bagaimanapun cepatnya, untuk mencapai jarak tertentu cahaya memerlukan waktu tertentu juga. Jika jarak OP ≠ OP’, maka cahaya dari O tidak akan sampai dalam waktu yang sama di titik P dan P’. Jika jarak OP > OP’ seperti yang digambarkan dalam gambar 4 berikut, dan jika waktu tiba cahaya di P’ adalah t1 dan waktu tiba cahaya di P adalah t2, maka bisa disimpulkan bahwa t2 > t1.

Gambar 4 : Sebaran Cahaya Memerlukan Waktu Perambatan

Karenanya jika ada materi yang bergerak dari koordinat P ke P’, pada saat cahaya merambat dari O ke P atau P’, kita akan selalu bisa menemukan bahwa materi tersebut sudah bergerak lebih lama dari ε waktu. Karenanya materi tersebut akan memiliki jarak dengan koordinat P. Konsekuensinya, materi tersebut akan sampai pada suatu titik dimana jarak materi tersebut ke P saat t1 akan lebih dekat dibanding jarak materi tersebut ke P saat t2.

Begitu juga dengan benda yang bergerak dari koordinat O. Ketika cahaya tiba di P’ dalam waktu t1, benda tersebut sudah bergerak dalam waktu yang lebih lama dari ε waktu. Karenanya benda tersebut akan memiliki jarak dengan koordinat O. Dan saat cahaya sampai di P dalam waktu t2, benda tersebut akan berada dalam jarak yang lebih jauh dari O.

Sekarang kita analisa transformasi Lorentz  menggunakan arah sebaran cahaya dalam salah satu sumbu ruang, misalnya sumbu x, seperti dalam gambar 5 berikut. Posisi O menurut pengamat P yang diam adalah x dan posisi O menurut pengamat P’ yang bergerak adalah x’.

Gambar 5 : Transformasi Lorentz

Seperti disarankan dalam RSTR, dalam pembahasan gerak relative, kita harus memperhatikan fakta bahwa cahaya menyebar dari objek menuju pengamat. Dengan memperhatikan arah sebaran cahaya dari objek menuju pengamat, sesuai dengan gambar 5, kita bisa melihat bahwa dalam transformasi Lorentz yang selama ini dikenal, terdapat kesalahan fundamental dalam hal pengabaian arah sebaran cahaya. Pengabaian ini membuat  titik temu P’, yang bergerak, dianggab sebagai titik temu dari kejadian Vp.t dan c.t’, meskipun kedua kejadian tersebut berada dalam waktu yang berbeda.

Sesuai dengan prinsip dilasi waktu, untuk pengamat dan objek yang bergerak,  jika t dan t’ dimulai dari waktu 0 yang sama, maka t ≠ t’. Konsekuensinya, titik temu P’ akan menyalahi konsep titik temu koordinat ruang dan waktu seperti dipaparkan dalam pembahasan dibagian awal tulisan ini.  Untuk mengatasi ini, Lorentz memperkenalkan variable k sebagai penyama persamaan, sedemikian hingga bisa dituliskan persamaan berikut :

c.t’ = k(c.t – vp.t)      ………………(1)

Tetapi walau bagaimanapun hal ini tidak akan menghasilkan kesimpulan yang valid, karena titik P’ yang bergerak tidak bisa disebut sebagai titik temu dalam dimensi ruang dan waktu untuk dua kejadian Vp.t dan c.t’ karena t ≠ t’.

P’ hanya akan merupakan titik temu dari dua kejadian dalam waktu yang berbeda, jika dan hanya jika P’ diam. Selain itu sesuai dengan konsep titik materi dalam koordinat ruang dan waktu, jika P’ adalah pengamat yang semula dalam satu koordinat dengan P, tentu P adalah P’ itu sendiri. Konsekuensinya ketika P’ berada dalam koordinat ruang yang berbeda dengan P, maka tentu P’ berada dalam waktu yang berbeda dengan P. Karenanya penggambaran O dan O’ dalam transformasi Lorentz dalam rentang waktu yang sama dengan P dan P’, hanya akan berada dalam koordinat ruang yang sama jika dan hanya jika O adalah diam.  Dalam kondisi ini, transformasi Lorentz akan menjadi seperti digambarkan dalam gambar 6 berikut.

Gambar 6 : Transformasi Lorenz valid untuk kondisi P dan O diam.

Dalam kondisi P dan O diam atau relative diam, sesuai dengan gambar 6, maka persamaan (1) konsep dasar transformasi Lorentz akan menjadi :

c.t’ = k(c.t)      ………….(2)

Dan k akan bernilai 1, sehingga persamaan (2) akan menjadi :

t’ = t              ……………..(3)

Dengan demikian menurut RSTR, bisa disimpulkan bahwa penurunan transformasi Lorentz hanya valid untuk kondisi pengamat dan objek yang diam.

Dalam penggambaran penurunan transformasi Lorentz, seperti dalam gambar 5, jika posisi P dalam waktu yang berbeda berada dalam koordinat yang berbeda (P’), maka untuk objek O yang bergerak maka O’ harus berada dalam koordinat ruang yang berbeda juga. Hal ini bisa digambarkan seperti dalam gambar 7 berikut.

Gambar 7 : Koreksi transformasi Lorentz jika objek bergerak.

Vp adalah kecepatan inersia P, Vo adalah kecepatan inersia O, t adalah waktu inersia yang berlaku sama bagi P dan O, dan t’ adalah waktu pengamatan. Dengan demikian untuk gerak dalam sumbu tersebut, akan didapatkan persamaan :

Vp.t’+c.t’ = c.t+vo.t    ………………..(4)

Sebagai pengganti persamaan (1) yang merupakan dasar penurunan transformasi Lorentz untuk sumbu yang sama. Dengan cara ini, transformasi Lorentz yang semula mengabaikan arah gerak sebaran cahaya dari objek kepada pengamat,  bisa direvisi.

—————-

About these ads

Entry filed under: Pengetahuan. Tags: , , , , .

Konsep Kecepatan Inersia dan Relative Catatan Buka Bersama IA-ITB 31 Agustus 2010

3 Komentar Add your own

  • 1. dtu212  |  28 Desember 2009 pukul 6:16 pm

    Cak Yo, tinggal ditulis ke buletin internasional… wah mantap banget… sangat masuk akal akan kebenaran teorinya.
    Keep writing bro!

    Balas
  • 2. Salim Nakhas  |  29 Agustus 2011 pukul 6:07 pm

    Terima kasih pak Yohan. Artikel ini sangat bermanfaat bagi studi saya

    Balas
  • 3. Miftakul ulum  |  23 September 2014 pukul 12:34 pm

    (1)
    Sebelumnya mohon dikoreksi bila pemahaman saya berikut tentang uraian di atas keliru.

    Kesalahan fundamental terjadi karena anggapan titik temu vP t berimpit dengan ct’.

    Pembahasan tentang relatifitas terbiasa menggunakan alat perantara berupa susunan mistar dan arloji atau “measuring rods and clocks so constructed”, karenanya lebih nyaman bila di sini juga digunakan. Misalkan mistar2 satuan dan arloji2 yang identik dijajar di koordinat diam dari P sepanjang sumbu X, juga mistar2 dan arloji2 yg sama dijajar di koordinat P’. Susunan ini memberikan posisi objek A sbg x,t menurut P dan x’,t’ menurut P’ adl posisi A’, bukan A sesuai post ini. Objek A dgn bgt, adl pada kerangka P karena A tdk dpt dianggap diam mutlak tetapi harus terlibat dalam relatifitas P dan P’

    Koordinat P’ bergerak dgn kcptan v menurut P, atau sebaliknya koordinat P bergerak dgn kcptan v menurut P’, tentunya pada arah berlawanan. Misalkan pada posisi xA,0 menurut sistem mistar dan arloji P, yang menurut sistem P’ adl di x’A,0, objek A, taruhlah sebuah kilat, memancarkan sinar dg kcptan c menurut P atau pun juga menurut P’. Sinar ini sampai di posisi nol sistem P’ saat arloji sistem menunjuk t’P’ shg posisinya 0,t’P’. Sinar itu jg merambat ke posisi nol kerangka P saat arlojinya tP shg posisinya 0,tP.

    Permasalahannya posisi nol kerangka P’ tidak boleh sama dgn posisi nol sistem P karena keduanya scr relatif bergerak, yg hal ini ditegaskan di uraian post. Nyatanya, posisi nol sistem P’ menurut P adl xP’,tP’. Namun, dalam kerangka P

    tP’ – 0 = tP – 0
    atau tP’ = tP = T

    yaitu waktu cahaya merambat dari A ke posisi nol P haruslah sama dgn waktu titik nol P’ bergerak dari saat terjadinya kilat di A. Kedua waktu harus sama, karena bila tdk sama, maka pengamat di P dapat mengukur perbedaan itu dan menyimpulkan dari perbedaan itu, kcptan geraknya sendiri relatif thd gerak absolut cahaya atau eter. Hal ini adl nihil sesuai percobaan michelson.

    Dgn demikian, gerak relatif kedua sistem menurut P adl

    (xP’ – 0) / v = (xA – 0) / c
    xP’ = xA v/c
    dan
    xA – xP’ = xA (1 – v/c)
    atau
    X = x – vT.

    Sementara menurut sistem P’, posisi objek A adl

    x’A – 0 = c (t’A – 0)
    atau
    X’ = cT’.

    Transformasi lorentz berdasar pada keadaan bahwa jarak A ke nol P’ menurut kedua kerangka itu tidak sama, tetapi linier seperti yg disebutkan di post ini, yaitu

    cT’ = k(X – vT).

    Jadi, transformasi ini konsisten dgn konsep keserempakan atau sinkronisasi pada suatu kerangka, yaitu kerangka P. Keberatan atas transformasi ini menurut post di atas adalah bahwa arloji P di nol P’ saat P’ sampai di sana semestinya tidak serempak atau sinkron dgn arloji P’ di nol P’ saat cahaya sampai di sana, yaitu

    (tP’ -0) tidak sama dgn (t’P’ -0)
    sehingga
    vT tidak sama dgn cT’.

    Sebenarnya hal ini telah jelas ditegaskan pada sinkronisasi transformasi lorentz, yaitu bahwa dua kejadian hanya dpt serempak pada kerangka yang sama dan tdk dpt serempak pada kerangka berbeda. Kejadian yang serempak hanya saat sinar mencapai nol P dan nol P’ mencapai xP’ menurut kerangka yang sama, yaitu tP=tP’. Transformasi sama sekali tdk menyinkronkan t’P’ dgn tP’ karena keduanya diukur oleh sistem arloji yg berbeda.

    Kalaupun “kesalahan fundamental” itu dianggap sbg yg terlewatkan dlm transformasi ini, tetapi sudut pandang lain yg merupakan pasangan transformasi pertama tadi akan menunjukkan bahwa transformasi ini tdk menyinkronkan dua waktu dari dua kerangka.

    Misalkan objek B sekarang diam dlm kerangka P’ berada di kiri titik nol P’ memancarkan sinar di posisi -x’B,0. Kerangka P’ tetap bergerak ke kanan thd kerangka P dgn kcptan v. Sinar dari B mencapai titik nol P’ di posisi 0,t’P’ menurut sistem P’ dan mencapai nol P, yang sekarang menjadi lebih dekat karena objek B bergerak thd kerangka P, di posisi 0,tP menurut sistem P. Kembali, arloji2 di sistem P’ adl sinkron dan titik nol P sekarang adalah -x’P,t’P menurut P’ shg

    t’P’ = t’P = T’
    (0 – -x’B)/c = (-x’P – 0) / (-v)
    X’ = x’ – vT’

    sedangkan menurut kerangka P

    0 – (-xB) = c (tP – 0)
    X = cT

    yang sama dgn kasus pertama menunjukkan relatifitas kedua kerangka.

    Balas

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Trackback this post  |  Subscribe to the comments via RSS Feed


Kalender

Desember 2009
S S R K J S M
« Nov   Sep »
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031  

Most Recent Posts


Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d blogger menyukai ini: