Transformasi Galileo dan Lorentz dalam Redefinisi Relativitas

oleh yohan suryanto, yohan@rambinet.com

Transformasi Galileo dan Transformasi Lorentz kita kenal dalam pembahasan gerak. Berdasarkan teori relativitas khusus, transformasi Galileo hanya berlaku untuk kecepatan yang relative rendah, jauh lebih lambat dibanding  kecepatan cahaya. Sementara menurut teori relativitas khusus, transformasi Lorentz berlaku umum untuk semua kecepatan. Namun setelah kita memasukkan postulat ketiga dalam redefinisi relativitas, bisa dibuktikan bahwa transformasi Galileo adalah transformasi inersia dan berlaku umum untuk semua kecepatan pengamat. Sementara itu, dalam transformasi Lorentz ditemukan pengabaian fundamental pada arah sebaran cahaya dari objek kepada pengamat yang mengakibatkan tidak terpenuhinya kondisi tertentu dalam konsep koordinat ruang dan waktu.

Konsep Titik Materi dalam Dimensi Ruang dan Waktu :

Dalam konteks makrokosmos dan mikrokosmos, koordinat ruang dan waktu ditentukan oleh koordinat ruang dan koordinat waktu. Jika P dan P’ adalah suatu titik materi dalam dimensi ruang dan waktu, maka P dan P’ akan berada dalam koordinat yang sama persis, hanya dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri. Karena jika P adalah materi yang berbeda dengan P’, maka dalam waktu yang sama akan selalu ada jarak antara P dengan P’ sedemikian hingga jarak P-P’ > 0 satuan jarak. Dengan demikian dalam titik original 0 seperti dalam gambar 1 berikut, jika materi P mewakili titik original dan P’ juga mewakili titik original yang sama dalam koordinat ruang dan waktu, hanya mungkin terjadi jika dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri.

gambar 1 : Konsep Titik dalam Dimensi Ruang dan Waktu

Dalam konsep ini, titik materi P bisa memiliki jarak dengan P’ (materi yang sama dengan P), jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu P-P’ ≠ 0. Materi P akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak. Untuk rentang waktu tertentu dalam dimensi ruang, posisi koordinat P dan P’ bisa digambarkan seperti gambar 2 berikut.

Gambar 2 : Koordinat materi bergerak P dan O dalam waktu yang berbeda

Demikian juga dengan titik materi O (x,y,z), hanya mungkin menempati ruang dan waktu yang sama dengan titik materi O’(x’,y’,z’),  jika dan hanya jika O adalah O’ itu sendiri. Dalam konsep ini, materi O akan memiliki jarak dengan O’, jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu O-O’ ≠ 0. Materi O akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak. Pada rentang waktu dalam dimensi ruang, posisi koordinat O dan O’ juga bisa digambarkan seperti gambar 2 di atas.

Jika koordinat ruang diwakili oleh koordinat  x, y dan z, maka titik temu dalam koordinat ruang dan waktu selain harus memiliki nilai x, y dan z yang sama, juga harus berada dalam waktu yang sama. Begitu juga dengan titik mula kejadian dalam ruang dan waktu, hanya akan valid jika dan hanya jika dimulai dari koordinat ruang yang sama dan dalam waktu yang sama. Dengan kata lain, titik temu dan titik mula kejadian adalah suatu titik dalam koordinat ruang waktu sedemikian hingga nilai x, y, z dan t bernilai sama bagi pengamat atau objek tertentu.

Transformasi Galileo :

Sesuai dengan konsep koordinat ruang dan waktu diatas, jika kita ingin menggambarkan keadaan dua pengamat sebagai acuan dalam waktu yang sama, tentu harus ada dua pengamat yang berbeda, misalnya P₁ dan P₂ seperti dalam gambar 3 berikut :

Gambar 3 : Pengamat P₁ dan P₂ sedang mengamati objek O

Pengamat P₁ diam atau relatife diam, pengamat P₂ relatif bergerak dan Objek O relative bergerak. Marilah kita memotret koordinat ruang kejadian tersebut dalam suatu rentang waktu. Dalam rentang waktu yang lebih besar dari epsilon (ε) waktu, posisi P₁ adalah tetap dalam tempatnya, sementara posisi P₂ dan O berada dalam ujung panah merah dalam dimensi ruang.

Berdasarkan tulisan sebelumnya (Redefinisi Relativitas :  Kaitan Konsep Kesinkronan dan Ketidaksinkronan Waktu , Konsep Ruang Inersia, Konsep Kecepatan Inersia dan Relative), waktu inersia, ruang inersia dan kecepatan inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Dengan demikian, rentang waktu pemotretan kejadian inersia O adalah sama bagi P₁ dan P₂. Jika posisi O menurut P₁ dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

x_o = f(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu x adalah v_ox=df(t)/dt

y_o =g(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu y adalah v_oy=dg(t)/dt

z_o=h(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu z adalah v_oz=dh(t)/dt

Dan posisi P₂ menurut P₁ dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

x₂=h(t), dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah v_2x=dh(t)/dt

y₂=i(t), dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah v_2y=di(t)/dt

z₂=j(t), dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah v_2z=dj(t)/dt

Ruang inersia menurut P₂ adalah sama menurut P₁, dengan demikian koordinat ruang inersia O menurut P₁ dan P₂ adalah juga sama. Dalam setiap waktu t dalam rentang waktu tersebut, posisi O menurut P₂ adalah :

x’_o = f(t) – h(t)

y’_o= g(t) – i(t)

z’_o = h(t)- j(t)

Karena waktu inersia sama bagi semua pengamat, maka kecepatan O menurut P₂ bisa dituliskan menjadi:

V_ox’ = dx’_o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = v_ox-v_2x

V_oy’ = dy’_o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = v_oy-v_2y

V_oz’ = dz’_o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = v_oz-v_2z

Dengan demikian transformasi Galileo adalah transformasi ruang dan waktu inersia, berlaku sama untuk semua kecepatan pengamat dan untuk semua kecepatan objek. Kecepatan relative inersia benda menurut pengamat yang satu dengan yang lainnya juga memenuhi transformasi Galileo, untuk semua kecepatan pengamat dan objek.

Tranformasi Lorentz

Cahaya merambat dengan kecepatan tertentu, dalam ruang hampa sebesar c. Bagaimanapun cepatnya, untuk mencapai jarak tertentu cahaya memerlukan waktu tertentu juga. Jika jarak OP ≠ OP’, maka cahaya dari O tidak akan sampai dalam waktu yang sama di titik P dan P’. Jika jarak OP > OP’ seperti yang digambarkan dalam gambar 4 berikut, dan jika waktu tiba cahaya di P’ adalah t₁ dan waktu tiba cahaya di P adalah t₂, maka bisa disimpulkan bahwa t₂ > t₁.

Gambar 4 : Sebaran Cahaya Memerlukan Waktu Perambatan

Karenanya jika ada materi yang bergerak dari koordinat P ke P’, pada saat cahaya merambat dari O ke P atau P’, kita akan selalu bisa menemukan bahwa materi tersebut sudah bergerak lebih lama dari ε waktu. Karenanya materi tersebut akan memiliki jarak dengan koordinat P. Konsekuensinya, materi tersebut akan sampai pada suatu titik dimana jarak materi tersebut ke P saat t₁ akan lebih dekat dibanding jarak materi tersebut ke P saat t₂.

Begitu juga dengan benda yang bergerak dari koordinat O. Ketika cahaya tiba di P’ dalam waktu t₁, benda tersebut sudah bergerak dalam waktu yang lebih lama dari ε waktu. Karenanya benda tersebut akan memiliki jarak dengan koordinat O. Dan saat cahaya sampai di P dalam waktu t₂, benda tersebut akan berada dalam jarak yang lebih jauh dari O.

Sekarang kita analisa transformasi Lorentz  menggunakan arah sebaran cahaya dalam salah satu sumbu ruang, misalnya sumbu x, seperti dalam gambar 5 berikut. Posisi O menurut pengamat P yang diam adalah x dan posisi O menurut pengamat P’ yang bergerak adalah x’.

Gambar 5 : Transformasi Lorentz

Seperti disarankan dalam RSTR, dalam pembahasan gerak relative, kita harus memperhatikan fakta bahwa cahaya menyebar dari objek menuju pengamat. Dengan memperhatikan arah sebaran cahaya dari objek menuju pengamat, sesuai dengan gambar 5, kita bisa melihat bahwa dalam transformasi Lorentz yang selama ini dikenal, terdapat kesalahan fundamental dalam hal pengabaian arah sebaran cahaya. Pengabaian ini membuat  titik temu P’, yang bergerak, dianggab sebagai titik temu dari kejadian V_p.t dan c.t’, meskipun kedua kejadian tersebut berada dalam waktu yang berbeda.

Sesuai dengan prinsip dilasi waktu, untuk pengamat dan objek yang bergerak,  jika t dan t’ dimulai dari waktu 0 yang sama, maka t ≠ t’. Konsekuensinya, titik temu P’ akan menyalahi konsep titik temu koordinat ruang dan waktu seperti dipaparkan dalam pembahasan dibagian awal tulisan ini.  Untuk mengatasi ini, Lorentz memperkenalkan variable k sebagai penyama persamaan, sedemikian hingga bisa dituliskan persamaan berikut :

c.t’ = k(c.t – v_p.t)      ………………(1)

Tetapi walau bagaimanapun hal ini tidak akan menghasilkan kesimpulan yang valid, karena titik P’ yang bergerak tidak bisa disebut sebagai titik temu dalam dimensi ruang dan waktu untuk dua kejadian V_p.t dan c.t’ karena t ≠ t’.

P’ hanya akan merupakan titik temu dari dua kejadian dalam waktu yang berbeda, jika dan hanya jika P’ diam. Selain itu sesuai dengan konsep titik materi dalam koordinat ruang dan waktu, jika P’ adalah pengamat yang semula dalam satu koordinat dengan P, tentu P adalah P’ itu sendiri. Konsekuensinya ketika P’ berada dalam koordinat ruang yang berbeda dengan P, maka tentu P’ berada dalam waktu yang berbeda dengan P. Karenanya penggambaran O dan O’ dalam transformasi Lorentz dalam rentang waktu yang sama dengan P dan P’, hanya akan berada dalam koordinat ruang yang sama jika dan hanya jika O adalah diam.  Dalam kondisi ini, transformasi Lorentz akan menjadi seperti digambarkan dalam gambar 6 berikut.

Gambar 6 : Transformasi Lorenz valid untuk kondisi P dan O diam.

Dalam kondisi P dan O diam atau relative diam, sesuai dengan gambar 6, maka persamaan (1) konsep dasar transformasi Lorentz akan menjadi :

c.t’ = k(c.t)      ………….(2)

Dan k akan bernilai 1, sehingga persamaan (2) akan menjadi :

t’ = t              ……………..(3)

Dengan demikian menurut RSTR, bisa disimpulkan bahwa penurunan transformasi Lorentz hanya valid untuk kondisi pengamat dan objek yang diam.

Dalam penggambaran penurunan transformasi Lorentz, seperti dalam gambar 5, jika posisi P dalam waktu yang berbeda berada dalam koordinat yang berbeda (P’), maka untuk objek O yang bergerak maka O’ harus berada dalam koordinat ruang yang berbeda juga. Hal ini bisa digambarkan seperti dalam gambar 7 berikut.

Gambar 7 : Koreksi transformasi Lorentz jika objek bergerak.

V_p adalah kecepatan inersia P, V_o adalah kecepatan inersia O, t adalah waktu inersia yang berlaku sama bagi P dan O, dan t’ adalah waktu pengamatan. Dengan demikian untuk gerak dalam sumbu tersebut, akan didapatkan persamaan :

V_p.t’+c.t’ = c.t+v_o.t    ………………..(4)

Sebagai pengganti persamaan (1) yang merupakan dasar penurunan transformasi Lorentz untuk sumbu yang sama. Dengan cara ini, transformasi Lorentz yang semula mengabaikan arah gerak sebaran cahaya dari objek kepada pengamat,  bisa direvisi.

—————-

Konsep Kecepatan Inersia dan Relative

oleh Yohan Suryanto, yohan@rambinet.com

Cibinong, 18 Desember 2009

Dalam tulisan sebelumnya, bisa dibuktikan bahwa waktu inersia dan ruang inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Pembuktian waktu inersia dan ruang inersia yang mutlak dalam gerak relative tersebut berasal dari penurunan Postulat ketiga Redefinition Special Theory of Relativity (RSTR).  Dalam ruang hampa, sebaran cahaya memiliki arah menjauhi sumber secepat c membentuk permukaan bola.  Dengan demikian waktu inersia dan ruang inersia berlaku sama baik bagi pengamat yang diam, relative diam, maupun yang relative bergerak. Hal ini konsisten dengan postulat pertama Theory of Relativity itu sendiri.

Menyambung tulisan mengenai “Konsep ruang inersia”, marilah kita tinjau konsep kecepatan inersia dan kecepatan relative sebelum membahas transformasi Galileo dan transformasi Lorentz.

Konsep Kecepatan Inersia :

Untuk mereview kembali mengenai konsep kecepatan newton, marilah kita lihat benda A yang begerak dari titik O dengan kecepatan v_o seperti dalam gambar 1 dibawah ini :

Gambar 1 : Kecepatan inersia

Jika titik O merupakan titik awal (0) sehingga ∆d bisa dituliskan sebagai d dan saat keberangkatan sebagai waktu awal (0) sehingga ∆t bisa dituliskan sebagai t, maka kecepatan rata-rata inersia A bagi A, P dan O bisa dituliskan sebagai:

v_o = d/t_o …………(1)

Sesuai dengan konsep ruang inersia, baik A dalam keadaan diam maupun relative bergerak maka ∆d inersia menurut A akan sama menurut P dan O. Sedangkan ∆t adalah periode saat A memulai perjalanan dari O sampai dititik A yang dikenal dengan periode waktu inersia T_o. Sesuai dengan penjelasan konsep waktu inersia, maka T_o selalu sama bagi semua pengamat, baik menurut A, menurut O maupun menurut P. Dengan demikian kecepatan rata-rata (v_o) inersia A terhadap O, sesuai dengan persamaan (1) adalah sama tidak tergantung pengamat.

Sepanjang d, jika posisi inersia A memenuhi fungsi d= f(t_o), karena konsep ruang inersia adalah sama bagi semua pengamat, maka d adalah sama bagi semua pengamat untuk setiap waktu inersia yang sama. Dan periode T_o bisa dibuat sedemikian hingga akan didapat ∆d yang lebih kecil atau sama dengan α untuk setiap T_o yang lebih kecil atau sama dengan ε. Jika fungsi d diwakili oleh f(t_o) dan urutan T_o kita sebut t_o maka kecepatan instan inersia (v_o) yang dituliskan sebagai :

v_o = df(t_o)/dt_o ……………(2)

Juga memiliki nilai yang sama bagi semua pengamat, tidak peduli kecepatan masing-masing pengamat.

Konsep Kecepatan Relatif :

Kumpulan periode waktu T pengamatan, seperti halnya seperti kumpulan periode waktu inersia T_o dalam penjelasan sebelumnya, kita kenal dengan t. Marilah kita bayangkan jika saat kejadian merupakan waktu 0, sebelum kejadian adalah masa lalu dan sesudah kejadian adalah masa yang akan datang. Dalam hal ini ∆t yang dalam pembahasan sebelumnya merupakan jeda waktu pengamatan, merupakan t yang positif. Jika kita melihat awal kejadian sebagai waktu awal (0), maka ∆t bisa dituliskan sebagai t saja. Karenanya untuk selanjutnya ∆t akan kita sebut sebagai t.

Kecepatan relative merupakan kecepatan yang kita ukur berdasarkan informasi kecepatan cahaya. Dalam kasus benda A yang bergerak, isotropic area informasi cahaya dari A menuju O dan P bisa digambarkan seperti dalam gambar 2 berikut :

Gambar 2 : Kecepatan Relative

Jika  O mengamati periode T waktu A sama dengan T_o inersia, maka bisa disimpulkan bahwa A relative diam terhadap O. Begitu juga jika P mengamati periode T waktu A sama dengan T_o inersia, maka bisa disimpulkan bahwa A relative diam terhadap P. Jika O dan P mengamati periode T waktu A berbeda dengan T_o, maka bisa disimpulkan bahwa A relative bergerak terhadap O dan P.

Dalam keadaan  A relative bergerak terhadap O dan P, ketika cahaya dari A sampai di O, benda A sudah sampai disuatu titik yang berbeda. Konsep kecepatan relative rata-rata bisa dituliskan sebagai :

v = d/t   …………………(3)

Dimana t adalah waktu pengamatan yang nilainya adalah t = β.t_o dan β adalah faktor dilasi waktu A terhadap O atau P. Jika persamaan (1) disubstitusikan kedalam persamaan (3), kecepatan rata-rata relative  bisa  dituliskan sebagai :

v= v_o/β   …………………(3)

Jika d memenuhi fungsi d=f(t), maka untuk setiap periode waktu T yang nilainya sama atau lebih kecil dari ε akan didapatkan ∆d =f(t) yang lebih kecil atau sama dengan α . Dengan demikian kecepatan instan time relative bisa dituliskan sebagai :

v = df(t)/dt  ……………(4)

Jika persamaan (2) disubtitusikan kedalam persamaan (4),  kecepatan instan relative bisa dituliskan sebagai :

v = v_o/β  ……………(5)

Pada suatu saat di titik inersia, Jarak AO adalah d₁ = c. t_o1. Jarak PA adalah d₂=c. t_o2. Dimana t_o1 dan t_o2 adalah waktu yang diperlukan oleh cahaya dari titik inersia A untuk sampai di O dan P. Dalam konsep kecepatan relative, untuk kasus seperti ini, jarak OA= d₁ sebenarnya hanya akan valid diamati oleh P sebagai d₁, hanya dan hanya jika A diam atau relative diam terhadap O. Jika A relative bergerak terhadap O dan P, maka sebenarnya jarak OA selalu berubah terhadap waktu. Maka ketika t₁ ≠ t₂, jarak  OA yang sebenarnya, ketika informasi sampai di O (t₁) adalah berbeda dengan jarak OA ketika informasi sampai di P (t₂).

———–

Konsep Ruang Inersia

Oleh Yohan Suryanto, yohan@rambinet.com

Cibinong, 30 November 2009

Dalam tulisan sebelumnya, “Redefinisi Relativitas :  Kaitan Konsep Kesinkronan dan Ketidaksinkronan Waktu “, bisa dibuktikan bahwa waktu inersia adalah waktu mutlak. Ketukan waktu inersia adalah sinkron, tidak tergantung gerak relative pengamat. Bagi pengamat yang diam maupun yang bergerak, yang memulai hitungan pada waktu t=0, ketika mereka menghentikan hitungan waktu pada saat yang sama, maka besaran waktu t keduanya memiliki nilai yang sama.

Pembuktian waktu inersia yang mutlak dalam gerak relative tersebut berasal dari penurunan Postulat ketiga Redefinition Special Theory of Relativity (RSTR).  Dalam ruang hampa, sebaran cahaya memiliki arah menjauhi sumber secepat c membentuk permukaan bola.  Postulat ketiga ini menyarankan Special Theory of Relativity (STR) harus memperhatikan arah sebaran cahaya dari sumber kepada pengamat.  Dengan demikian waktu inersia berlaku sama baik bagi pengamat yang diam, relative diam, maupun yang relative bergerak. Hal ini konsisten dengan postulat pertama Theory of Relativity itu sendiri.

Menyambung tulisan mengenai “Gerak Relatif, tidak Mengubah Bentuk Benda” yang membahas bahwa benda yang bergerak tidak berubah bentuk baik bagi pengamat yang diam maupun yang bergerak, dengan adanya postulat ketiga ini kita akan membahas konsep ruang inersia dan ruang relatif dan kaitan diantaranya. Konsep ruang inersia kita perlukan untuk membahas transformasi gallileo dan transformasi Lorentz  dalam Theory of Relativitas selanjutnya.

Bagaimana Mengukur Panjang Benda yang Diam

Marilah kita telaah kembali bagaimana kita diperkenalkan cara mengukur panjang suatu benda dalam keadaan yang relative diam antara pengamat dan benda yang diukur. Pengamat membawa alat ukur yang panjangnya O’A’ untuk mengukur benda lurus OA seperti digambarkan dalam gambar 1 berikut.

Gambar 1 : Mengukur panjang OA dengan satuan panjang O’A’

Pertama kali yang harus kita lakukan sebagai pengamat adalah menyamakan ujung O dengan O’ agar persis berimpit. Kemudian kita akan memeriksa apakah ujung A akan berimpit dengan ujung A’ akibat tindakan pertama tersebut. Jika keberimpitan ujung O dengan O’ menyebabkan ujung A berimpit dengan A’, maka dikatakan bahwa panjang OA adalah sepanjang O’A’. Jika O’A’ adalah panjang satuan standard 1 meter, maka kita bisa menyimpulkan bahwa OA panjangnya adalah satu meter. Panjang OA yang diukur dengan cara ini adalah panjang inersia. Bagi pengamat O’A’ yang relative diam terhadap OA, panjang ini akan selalu sama.

Pembahasan theory relativitas mendasari pengamatan berdasarkan gelombang cahaya atau gelombang elektromagnetik, karenanya kita perlu menghubungkan metode pengukuran panjang inersia tersebut diatas dengan kecepatan cahaya. Kita perlu memaknai keberimpitan seperti contoh gambar 1 tersebut kedalam jeda waktu ∆t. Untuk mengukur panjang suatu benda dengan satuan panjang, kita akan menentukan path cahaya dari ujung awal benda ke ujung awal alat ukur. Path cahaya ujung akhir benda ke alat ukur adalah yang sejajar dengan path ujung awal tersebut. Titik akhir alat ukur adalah titik dimana path ujung akhir benda memiliki ∆t yang sama dengan path ujung awal. Metode ini kita sebut metode penggaris cahaya.

Panjang O’A’ ditentukan berdasarkan cepat rambat gelombang cahaya dalam ruang hampa dalam satuan waktu inersia. Karena waktu inersia adalah mutlak tidak tergantung gerak relative pengamat, konsekuensinya adalah besaran O’A’ juga mutlak tidak tergantung gerak relative objek dan pengamat..

Dalam metode penggaris cahaya, konsep keberimpitan O dengan O’ kita ganti dengan jeda waktu yang ditempuh oleh cahaya dari O menuju O’, sebut saja nilainya ∆t_o1. Maka panjang OA bisa diukur dengan O’A’ jika dan hanya jika path rambatan cahaya OO’ sejajar dengan path rambatan cahaya AA’ dan jeda waktu A dengan A’, sebut saja ∆t_o2, memiliki nilai yang sama dengan ∆t_o1. Hal ini seperti digambarkan dalam gambar 2 berikut :

Gambar 2 : Mengukur Panjang OA dalam konsep rambatan cahaya

Panjang OA dikatakan sepanjang O’A’ jika kita meletakkan O’ sedemikian sehingga kita mendapatkan path OO’. Jeda waktu rambatan cahaya dalam path OO’ ini disebut ∆t_o1. Jika path rambatan cahaya AA’ sejajar dengan path rambatan cahaya OO’, dan pada ∆t_o2=∆t_o1 sinyal dari A menyentuh A’,maka bisa dipastikan bahwa OA=O’A’.

Panjang benda yang diam juga bisa diukur dengan metode proyeksi, seperti terlihat dalam gambar 3a dan 3b berikut :

Gambar 3a : Metode proyeksi untuk menentukan Panjang OA

Dalam metode proyeksi, untuk benda yang relative diam baik metode proyeksi tidak semetris (Gambar 3a) maupun metode proyeksi simetris (Gambar 3b) akan menghasilkan hasil yang sama. Hal ini karena dalam jangka waktu tertentu, waktu yang cukup untuk melakukan pengukuran, posisi O terhadap P dan Posisi A terhadap P adalah tetap. Dengan demikian meskipun ada beda jeda rambat cahaya antara AP dan OP, perbedaan jeda ini tidak membuat posisi OA berubah.

Gambar 3b : Metode proyeksi simetris untuk menentukan Panjang OA

Dalam keadaan diam, metode proyeksi simetris akan menghasilkan keadaan yang sama dengan metode tidak simetris. Jeda waktu antara AP dan OP adalah sama, karenanya untuk OA yang diam ataupun bergerak, metode ini akan selalu menghasilkan proyeksi panjang OA yang akurat. Baik metode proyeksi simetris maupun non simetris, untuk mendapatkan panjang OA kita harus mengetahui panjang O’A’,  panjang O’P atau sudut  α dan Panjang OP.

Karena tujuan kita adalah mendapatkan konsep ruang inersia, tanpa memikirkan kerumitan skala pengukuran pada metode proyeksi, maka metode pengukuran penggaris cahaya akan mewakili pemahaman kita. Dalam metode ini panjang benda yang diukur akan memiliki skala panjang yang persis sama dengan alat ukurnya.

Bagaimana mengukur Panjang Inersia benda yang bergerak

Pertanyaan mendasarnya adalah apakah panjang benda inersia yang bergerak adalah sama bagi semua pengamat seperti halnya waktu inersia? Untuk membuktikannya kita akan menggunakan metode mengukur panjang menggunakan metode penggaris cahaya.

Dengan menggunakan metode penggaris, ada tiga benda yang masing-masing bergerak terhadap P dalam path sesuai dengan gambar 4 berikut :

Gambar 4 : Mengukur panjang benda yang bergerak

Sebelum mengukur panjang benda AB, CD dan EF yang bergerak sesuai dengan arah gerak tersebut, dalam keadaan ketiga benda tersebut diam terhadap P, keadaannya adalah sebagai berikut :

Panjang AB :

Path cahaya AP memiliki jeda waktu ∆t_o1

Path cahaya BB’ sejajar dengan path cahaya AP dengan jeda waktu ∆t_o2

Karena ∆t_o1 = ∆t_o2, maka panjang AB = PB’

Panjang CD :

Path cahaya CP memiliki jeda waktu ∆t_o3

Path cahaya DD’ sejajar dengan path cahaya CP dengan jeda waktu ∆t_o4

Karena ∆t_o3 = ∆t_o4 , maka panjang CD = PD’

Panjang EF :

Path cahaya EP memiliki jeda waktu ∆t_o5

Path cahaya FF’ sejajar dengan path cahaya EP dengan jeda waktu ∆t_o6

Karena ∆t_o5 = ∆t_o6, maka panjang EF = PF’

Berdasarkan RSTR (Redefinition of Special Theory of Relativity), hubungan waktu inersia dengan waktu pengamatan dituliskan dalam hubungan sebagai berikut :

……………………….(1)

Dimana,

∆t = Dilasi waktu pengamatan

∆t_o= Waktu inersia

β_ps = faktor dilasi karena gerak pengamat dalam bidang s

β_os = faktor dilasi karena gerak objek dalam bidang s

β_pr = faktor dilasi karena gerak pengamat dalam sumbu r

β_or = faktor dilasi karena gerak objek dalam sumbu r

Dua benda yang bergerak dalam path dan kecepatan yang sama relative terhadap pengamat akan memiliki faktor dilasi yang sama.  Untuk menyederhanakan, persamaan 1 bisa dituliskan sebagai :

∆t = β.∆t_o ……..(2)

dimana  ,

…………………..(2)

Untuk menentukan panjang inersia AB, CD dan EF yang relative bergerak terhadap pengamat, kita akan bahas satu per satu sebagai berikut :

Panjang AB yang bergerak

Dilasi waktu AP adalah ∆t₁ = β₁.∆t_o1

Dilasi waktu BB’ adalah ∆t₂ = β₂.∆t_o2

Karena A relative terhadap P bergerak dalam path dan kecepatan yang sama dengan B relative terhadap B’ maka β₁=β₂. Berdasarkan informasi sebelumnya  ∆t_o1 = ∆t_o2, maka akan didapat ∆t₁ = ∆t₂. Dengan demikian bisa disimpulkan bahwa panjang AB = PB’.

Panjang CD yang bergerak

Dilasi waktu CP adalah ∆t₃ = β₃.∆t_o3

Dilasi waktu DD’ adalah ∆t₄ = β₄.∆t_o4

Karena C relative terhadap P bergerak dalam path dan kecepatan sama dengan D relative terhadap D’ maka β₃=β₄. Berdasarkan informasi sebelumnya  ∆t_o3 = ∆t_o4, maka akan didapat ∆t₃ = ∆t₄. Dengan demikian bisa disimpulkan bahwa panjang CD = PD’.

Panjang EF yang bergerak

Dilasi waktu EP adalah ∆t₅ = β₅.∆t_o5

Dilasi waktu FF’ adalah ∆t₆ = β₆.∆t_o6

Karena E relative terhadap P bergerak dalam path dan kecepatan sama dengan F relative terhadap F’ maka β₅=β₆. Berdasarkan informasi sebelumnya  ∆t_o5 = ∆t_o6, maka akan didapat ∆t₃ = ∆t₄. Dengan demikian bisa disimpulkan bahwa panjang EF = PF’.

Karena AB=PB’, CD=PD’ dan EF=PF’ baik dalam keadaan diam maupun bergerak, maka bisa disimpulkan bahwa panjang inersia adalah mutlak tidak tergantung gerak relative benda terhadap pengamat.

Ruang Inersia

Hasil kesimpulan sebelumnya kita perluas dengan ruang yang bergerak. Untuk kemudahan pembahasan kita ambil ruang seperti balok dengan sisi a, b dan c seperti ditunjukkan dalam gambar 5 berikut :

Gambar 5 : Ruang Inersia yang bergerak

Dengan cara yang sama dengan mengukur panjang, pertama kita pastikan keberimpinan masing-masing sisi dengan metode penggaris cahaya untuk menentukan bahwa dalam keadaan diam panjang a=a’, b=b’ dan c=c’. Ketika benda tersebut bergerak dengan path seperti dalam gambar 5, maka yang terjadi adalah masing-masing sisi bergerak terhadap sisi-sisi yang bersesuaian.

Kondisi ini bisa dipecah seperti pembahasan kasus panjang benda yang bergerak sebelumnya. Dengan cara yang sama, bisa diturunkan bahwa dalam kondisi bergerak a=a’, b=b’ dan c=c’. Karena panjang masing-masing sisi tersebut sama seperti keadaan diam, maka dengan demikian bisa disimpulkan bahwa ruang inersia adalah sama bagi semua pengamat, tidak bergantung kepada gerak relative objek terhadap pengamat.

————-

Redefinisi Relativitas: Kaitan Konsep Kesinkronan dan Ketidaksinkronan Waktu

Oleh : Yohan Suryanto, yohan@rambinet.com

Cibinong, 4 November 2009

Postulat ketiga dalam Redefinition Special Theory of Relativity (RSTR) adalah dalam ruang hampa, sebaran cahaya memiliki arah menjauhi sumber secepat c membentuk permukaan bola.  Postulat ketiga menyarankan Special Theory of Relativity (STR) harus memperhatikan arah sebaran cahaya dari sumber kepada pengamat. Dengan adanya postulat ketiga ini, kita akan membahas konsep sinkronisasi waktu inersia dan konsep ketidaksinkronan waktu dalam relativitas dan kaitan diantaranya.

Review RSTR :

Seperti dibahas dalam tulisan sebelumnya, “Redefinisi STR : Sebuah Penjelasan Pergeseran Efek Doppler pada Kasus Percobaan Ives dan Stillwell”,  dalam kaitan arah gerak relative terhadap arah sebaran cahaya dari objek kepada pengamat, kita definisikan sumbu yang searah dengan sebaran cahaya sebagai sumbu r dan bidang yang tegak lurus dengan sebaran cahaya disebut bidang s.

Dalam sumbu r hubungan waktu pengamatan dengan waktu inersia adalah :

∆t_r.β_pr = β_or.∆t_o ……….(1)

Dimana :

∆t_r = dilasi waktu dalam sumbu r

∆t_o= Waktu inersia

β_pr = faktor dilasi karena gerak pengamat dalam sumbu r

β_or = faktor dilasi karena gerak objek dalam sumbu r

Faktor dilasi karena gerak pengamat dalam sumbu r bisa dituliskan sebagai :

β_pr = (1±(v_pr/c))   ………(2a)

β_or = (1±(v_or/c))   ………(2b)

Dimana :

v_pr = Kecepatan inersia pengamat dalam sumbu r

v_or= Kecepatan inersia objek dalam sumbu r

Dalam bidang yang tegak lurus arah sebaran cahaya (bidang s), hubungan waktu pengamatan dengan waktu inersia adalah :

∆t_s.β_ps = β_os.∆t_o ……….(3)

Dimana :

∆t_s = dilasi waktu dalam bidang s

∆t_o= Waktu inersia

β_ps = faktor dilasi karena gerak pengamat dalam bidang s

β_os = faktor dilasi karena gerak objek dalam bidang s

Faktor dilasi karena gerak pengamat dalam bidang s dituliskan sebagai :

β_ps=√ (1±(v_ps/c)²)      ………(4a)      

β_os=√ (1±(v_os/c)²)      ………(4b)      

Dimana :

v_ps = Kecepatan inersia pengamat dalam bidang s

v_os= Kecepatan inersia objek dalam bidang s

Hubungan antara waktu pengamatan (∆t), waktu inersia (∆t_o), dilasi waktu dalam sumbu r (∆t_r) dan dilasi waktu dalam bidang s (∆t_s), seperti dibahas dalam tulisan “Contoh Kasus Tinjauan Redefinisi Relativitas Khusus” adalah:

∆t² + ∆t_o² = ∆t_r² + ∆t_s² …………(5)

Dengan mensubsitusi ∆t_r dalam persamaan (1) dan ∆t_s dalam persamaan (3)  kedalam persamaan (5) dan mengatur ulangnya akan didapat hubungan antara ∆t dan ∆t_o adalah sebagai berikut :

……………………..(6)

Waktu Inersia dan Kesinkronan Waktu

Dalam konsep sinkronisasi waktu, kita mengenal bahwa waktu dikatakan sinkron bila jeda waktu atau periode (T) ‘satuan waktu terkecil bersama’ antara jam yang satu dengan jam yang lainnya adalah sama. Dalam konsep ini, T bisa dalam satu detik atau ukuran yang lebih kecil mendekati epsilon waktu. Dalam kerangka inersia, periode waktu (T_o) bisa didapatkan dengan mengurangi waktu inersia kejadian (∆t_o2) dengan waktu inersia kejadian sebelumnya (∆t_o1), seperti dituliskan dalam persamaan berikut :

T_o = ∆t_o2 – ∆t_o1 ……………….(7)

Sebagai keterangan, jika waktu adalah diskrit seperti yang pernah disampaikan dalam forum fisika, biasanya ukuran T_o terkecil yang diambil adalah 10^-43 second. Periode (T) untuk pengamat dan atau objek yang bergerak, bisa didapatkan dengan mengurangi dilasi waktu kejadian (∆t₂) dengan dilasi waktu kejadian sebelumnya (∆t₁) seperti dituliskan dalam persamaan berikut :

T= ∆t₂ – ∆t₁ …………………..(8)

Dengan mensubstitusi persamaan (6) kedalam persamaan (8), dan mengatur ulang akan didapat :

………………(9)

Dengan mensubstitusi persamaan (7) kedalam persamaan (9) akan didapatkan :

…………………………(10)

Untuk mempermudah pembahasan, kita asumsikan bahwa semua objek di alam semesta dibekali dengan atom cesium yang dipastikan dalam suhu standard memiliki periode getaran yang persis sama. Hal ini sesuai dengan postulat pertama Special Theory of Relativity (STR), yaitu : hukum-hukum fisika berlaku sama untuk setiap pengamat di dalam kerangka acuan yang inersia. Satu periode getaran atom cesium ini kita ambil sebagai T_o.

Sekarang Marilah kita asumsikan bahwa P dan O, yang semula relative diam, menandai satu getaran atom Cesium sebagai periode waktu terkecil untuk keperluan sinkronisasi waktu keduanya.  Setelah disinkronkan P melihat ketukan jam cesium O sebagai T₁, dimana T₁ = T_o. Dan O melihat ketukan jam cesium P sebagai T₂ dimana T₂ = T_o. Karena T₁=T₂=T_o, maka dikatakan T₁ dan T₂ adalah sinkron.

Kemudian O melakukan perjalanan dalam path dan kecepatan v₃ yang tidak teratur. Seorang juri J dengan path dan kecepatan v₂ yang juga tidak teratur mendekati P untuk memeriksa jam cesium P dan O. P sendiri sebenarnya bergerak terhadap universe dengan path dan kecepatan v₁ yang belum diketahui seperti digambarkan dalam gambar 1 berikut :

Gambar 1 : Gerak P dan O diamati oleh J terhadap U

J juga bergerak terhadap universe dan menandai satu periode getaran atom cesium sebagai T_o. Sebelum berangkat ke posisi P, dia memastikan jam cesiumnya sendiri dan melihat T₃ = T_o. Kemudian J mendekati P, sehingga pada suatu saat path dan kecepatan J sama dengan path dan kecepatan P. Pada kondisi ini, Seperti yang pernah dibahas dalam tulisan “Contoh Kasus Tinjauan Redefinisi Relativitas Khusus”,  J sebagai pengamat dan P sebagai objek dan kita akan mendapatkan :

β_pr = β_or dan β_ps = β_os ………………..(11)

J melihat ketukan jam P sebagai T₄. Dengan memasukkan hasil (11) kedalam persamaan (10) akan didapat bahwa :

T₄ = T_o …………………..(12)

Kemudian J pergi ke O dengan kecepatan dan path yang tidak teratur sehingga sampailah ia dalam keadaan relative diam terhadap O, path dan kecepatannya sama dengan O. Pada kondisi relative diam terhadap O ini,  J sebagai pengamat dan O sebagai objek dan kita akan mendapatkan hubungan seperti pada persamaan (11).  J melihat ketukan jam O sebagai T₅. Dengan memasukkan hasil (11) kedalam persamaan (10) akan didapat bahwa :

T₅ = T_o …………………..(13)

Dalam kondisi kondisi pengamat diam atau relative diam terhadap objek, meskipun sebelumnya bergerak dengan path dan kecepatan yang acak, dari pembahasan tersebut bisa disimpulkan bahwa :

T₁=T₂=T₃=T₄=T₅=To    ………………..(14)

Ini adalah penjelasan lebih lanjut dari tulisan “Penyebab Kontradiksi si Kembar dalam Relativitas Khusus” dimana 2 orang kembar atau lebih yang melakukan perjalanan dengan path yang bahkan tidak teratur setelah berkumpul kembali dalam suatu tempat yang relative diam, baik karena bergerak dengan kecepatan dan path yang sama atau diam mutlak terhadap pusat universe, akan mendapatkan ketukan waktu yang sinkron. Karena yang mereka lihat dalam keadaan ini adalah T_o yang harganya adalah sama disemua kerangka inersia. Dan setiap saat secara konseptual aka nada J yang memeriksa si kembar dan akan mendapatkan bahwa keduanya memiliki ketuka T_o yang sama sepanjang waktu perpisahan mereka.

Seperti halnya J yang mampu bergerak mendekati P atau O sehingga berada dalam keadaan relative diam, karena path dan kecepatannya sama dengan P atau O, pikiran kita juga mampu meloncat dari satu objek ke objek lainnya mengabaikan waktu loncatan. Sehingga dengan demikian pengamat akan mampu berada dalam keadaan seakan-akan relative diam terhadap semua objek dalam waktu yang sama. Karenanya pengamat  akan bisa memikirkan bahwa ketukan waktu disemua objek adalah sama, keadaan ini adalah keadaan waktu inersia. Konsep kesinkronan waktu berarti  waktu inersia adalah sinkron bagi semua pengamat.

Dilasi Waktu dan Ketidaksinkronan Waktu

Untuk menggambarkan kasus ketidaksinkronan waktu pengamatan, marilah kita lihat kejadian Objek O yang sedang bergerak terhadap pusat universe dengan path dan kecepatan V₁ yang diamati oleh tiga pengamat P_A, P_B dan P_C seperti digambarkan dalam gambar 2 berikut :

Gambar 2 : Pengamat PA, PB dan PC sedang mengamati O yang bergerak

Ketika kita mengamati objek yang sama, waktu pengamatan dari masing-masing pengamat bisa didapatkan dari hubungan seperti dituliskan dalam persamaan (10) berikut :

T_o adalah waktu inersia, yang berdasarkan pembahasan sebelumnya T_o objek O sama dengan T_o pengamat, karenaT_o berlaku universal dan sinkron.  Dengan demikian untuk pengamat A (P_A) yang bergerak dalam path dan kecepatannya akan melihat T_o objek sebagai T_A. Berdasarkan persamaan 2a, 2b, 4a dan 4c, dalam keadaan P_A relative bergerak terhadap O, akan didapatkan nilai :

β_pr ≠ β_or atau β_ps ≠ β_os atau kedua-duanya tidak sama …………….(15)

Dengan memasukkan hasil (15) kedalam persamaan (10), kita akan mendapatkan waktu pengamatan T_A berbeda dengan T_o, yang bisa dituliskan sebagai berikut ;

T_A ≠ T_o ……………..(16)

Untuk pengamat B (P_B) dan pengamat C (P_C) yang masing-masing memiliki path dan kecepatan yang berbeda terhadap O pada saat ketukan T_o tertentu, akan didapatkan kejadian seperti dituliskan dalam persamaan (15).  Sehingga kita akan mendapatkan :

T_B ≠ T_o ……………..(17)

T_C ≠ T_o ……………..(18)

Dan karena kecepatan dan pathnya berbeda untuk keadaan ketukan T_o tertentu, maka faktor dilasi untuk P_A, P_B dan P_C untuk keadaan yang ditinjau tersebut juga berbeda, akibatnya :

T_A ≠ T_B ≠ T_C≠ T_o ………………(19)

Dengan demikian waktu pengamatan T_A, T_B dan T_C tidak sinkron meskipun mengamati objek dengan T_o yang sama. Keadaan seperti ini dikenal sebagai ketidaksinkronan waktu.

Kaitan antara Kesinkronan Waktu dan Ketidaksinkronan Waktu

Keadaan seperti digambarkan dalam pembahasan ketidaksinkronan waktu di atas, banyak terjadi disekitar kita ketika benda-benda relative bergerak di alam semesta. Masing-masing akan mengamati waktu benda-benda yang lain sebagai T yang pada saat relative bergerak nilainya bisa berbeda satu sama yang lain. Tetapi berdasarkan pembahasan kesinkronan waktu, semuanya memiliki harga T_o yang sama. Dan pada saat benda-benda relatif diam atau diam mutlak, kita akan mendapatkan waktu pengamatan T sama dengan T_o.  Hubungan antara T dan T_o dituliskan dalam persamaan berikut.

Ketidaksinkronanan waktu adalah kejadian perbedaan waktu pengamatan (T) yang terjadi dalam kerangka pengamatan yang bergerak. Kesinkronan waktu adalah waktu inersia (T_o) yang sama antara semua benda di jagat raya terlepas dari kerangka pengamatannya, baik saat bergerak maupun diam. Waktu pengamatan (T) akan sama dengan T_o ketika pengamat relative diam terhadap objek. Harga T beberapa pengamat akan sinkron pada nilai tertentu, sebut saja Ta, untuk semua pengamat yang bergerak dengan kecepatan dan path yang sama terhadap objek untuk keadaan ketukan T_o tertentu.

Karena itu ketika kita melihat (T) waktu benda yang relative bergerak, kita bisa menentukan kecepatan inersia benda tersebut saat kita sebelumnya mengetahui kecepatan inersia kita sendiri terhadap universe.

——–

Pergeseran Efek Doppler pada Kasus Percobaan Ives dan Stillwell

Cibinong, 1 November 2009

Oleh : Yohan Suryanto, yohan@rambinet.com

Redefinisi STR : Sebuah Penjelasan Pergeseran Efek Doppler pada Kasus Percobaan Ives dan Stillwell

Untuk menguji kembali Redefinisi Special Theory of Relativity (STR) setelah berhasil menjelaskan secara sangat meyakinkan atas kasus percobaan Michelson Morley dalam tulisan “Redefinisi  STR : Sebuah Penjelasan Kasus Percobaan Michelson Morley”, marilah kita telaah kembali hasil percobaan pergeseran efek Doppler pada pengamatan cahaya atom Hidrogen oleh Ives dan Stillwell.

Pada Tahun 1938, Ives dan Stillwell menguji efek doppler frekuensi cahaya pada atom Hidrogen yang bergerak dalam tabung. Pada saat itu ia mendapatkan hasil pergeseran frekuensi gelombang cahaya yang berbeda dari prediksi Efek Doppler Akustik Klasik dan juga terdapat perbedaan dibanding prediksi berdasarkan relativitas Einstein. Ives dan Stillwell mengelompokkan hasil pengamatannya dalam dua kategori, hasil yang mendekati prediksi relativitas Einstein dan yang tidak mendekati prediksi relativitas Einstein. Berdasarkan percobannya tersebut Ives dan Stillwell  membuat model pergeseran efek Doppler sendiri.

Meskipun model yang ditulis oleh Stefie Smith tahun 1957 http://www.mathpages.com/rr/s2-04/2-04.htm diklaim bisa mengoreksi hasil yang didapat dalam percobaan Ives dan Stillwell dengan menggabungkan efek dopler klasik dan koreksi relatifitas,  hasil yang diamati dalam percobaan Ives dan Stillwell bisa dijelaskan dengan lebih elegan menggunakan Redefinisi STR (RSTR).

Efek Doppler dalam Redefinisi STR

Mulai tulisan ini, agar definisi sumbu yang searah dengan sebaran cahaya tidak rancu dengan sumbu x dalam ruang xyz, kita akan menyebutnya sebagai sumbu r. Definisi bidang yang tegak lurus dengan sebaran cahaya yang semula disebut bidang yz akan disebut bidang s. Istilah sumber (s) kita ganti dengan objek (o) agar tidak rancu dengan bidang s yang sudah didefinisikan tersebut. Sehingga persamaan dilasi waktu dalam RSTR bisa dituliskan menjadi :

∆t.β_p = β_o.∆t_o ……….(1)

Dimana ∆t adalah waktu pengamatan, ∆t_o adalah waktu inersial, β_p adalah faktor dilasi karena gerak pengamat dan β_o adalah faktor dilasi karena gerak sumber atau objek. Faktor dilasi dalam sumbu searah sebaran cahaya (sumbu r) adalah :

β_r = (1±(v/c))   ………(2)

Dan faktor dilasi dalam sumbu atau bidang yang tegak lurus arah sebaran cahaya (bidang s) adalah :

β_s=√ (1±(v/c)²)      ………(3)      

Hubungan antara dilasi waktu pengamatan (∆t), waktu inersia (∆t_o), dilasi waktu pengamatan dalam sumbu r (∆t_r) dan dilasi waktu dalam bidang s (∆t_s) adalah:

∆t² + ∆t_o² = ∆t_r² + ∆t_s² …………(4)

Frekuensi didefinisikan sebagai jumlah gelombang dalam satu detik. Satu gelombang dihitung sebagai titik antara puncak ke puncak atau lembah ke lembah. Karenanya f = 1/T, dimana T adalah periode gelombang. Periode gelombang adalah waktu antara peak to peak atau waktu antara lembah ke lembah.

Dalam kerangka inersia, periode gelombang (T_o) bisa didapatkan dengan mengurangi waktu kedatangan puncak gelombang (∆t_o2) dengan waktu kedatangan puncak gelombang  sebelumnya (∆t_o1), seperti dituliskan dalam persamaan berikut :

T_o = ∆t_o2 – ∆t_o1 ……………….(5)

Periode (T) untuk pengamat dan atau objek yang bergerak, bisa didapatkan dengan menguragni dilasi waktu kedatangan puncak gelombang (∆t₂) dengan dilasi waktu kedatangan puncak gelombang sebelumnya (∆t₁) seperti dituliskan dalam persamaan berikut :

T= ∆t₂ – ∆t₁ …………………..(6)

Dimana berdasarkan RSTR, hubungan antara waktu pengamatan dengan waktu inersia bisa dituliskan dengan :

∆t₁ = ∆t_o1.β_o/β_p ………………..(7)

∆t₂ = ∆t_o2.β_o/β_p ……………..(8)

Dengan memasukkan persamaan (7) dan (8) kedalam persamaan (6) akan didapat :

T =(∆t_o2 - ∆t_o2). β_o/β_p …………(9)

Dengan mensubsitusi  persamaan (5) kedalam persamaan(9) dan dengan penulisan ulang, hubungan antara T dan T_o bisa dituliskan sebagai :

T.β_p = β_o.T_o …………………….(10)

Dan dengan mensubsitusi  hubungan f=1/T, persamaan (10) bisa dituliskan sebagai :

f.β_o = β_p.f_o ………………………….(11)

Analisa Hasil Percobaan Ives dan Stillwell

Postulat kedua relativitas einstein, cahaya bisa bergerak tanpa media (dalam ruang hampa) secepat c menyarankan agar efek Doppler memperhatikan relatifitas. Tetapi postulat ketiga dalam RSTR membawa konsekuensi  persamaan efek Doppler dalam RSTR (11) yang digunakan dalam percobaan Ives dan Stillwell juga harus memperhatikan gerak pengamat dan atom hydrogen terhadap universe, terhadap rotasi bumi dan terhadap gerak evolusi bumi. Jadi efek doppler gelombang elektromagnetik tidak bisa hanya melihat gerak relative antara pengamat dan atom hydrogen saja.

Saat melakukan percobaan, pengamat dan atom hydrogen saat diam sebenarnya berada dalam kerangka seperti digambarkan dalam gambar 1 berikut :

Gambar 1 : Kerangka pengamatan percobaan Ives dan Stillwell

Dalam keadaan pengamat dan atom hydrogen relative diam tersebut, sebagaimana dijelaskan dalam tulisan “Contoh Kasus Tinjauan Redefinisi Relativitas Khusus”, cahaya dari atom hidrogen tidak akan mengalami pergeseran frekuensi ketika diterima oleh pengamat. Waktu yang diterima oleh pengamat dalam keadaan ini adalah waktu inersia objek yang sama dengan waktu pengamat.

Tetapi saat objek (atom hydrogen) bergerak terhadap pengamat, frekuensi yang diamati akan dipengaruhi oleh arah gerakan objek terhadap gerak relative bumi terhadap universe, gerak rotasi bumi dan gerak evolusi bumi seperti digambarkan dalam gambar 2 berikut :

Gambar 2 : Gerak relative objek terhadap pengamat memperhatikan gerak universe

Dalam percobaan Ives dan Stillwell, kecepatan atom hydrogen  v1 adalah  = 1.000.000 m/s relative terhadap P. Kecepatan rotasi bumi  dipermukaan akan menyebabkan P dan O bergerak dalam arah dan kecepatan (v_rotasi) yang sama sekitar :  463 m/s.  Evolusi bumi akan menyebabkan P dan O bergerak dalam arah dan kecepatan (v_e)yang sama sekitar :  29.722 m/s. Kecepatan bumi terhadap universe (v_u)saat percobaan dilakukan adalah belum diketahui.

Untuk mempermudah pembahasan, saat percobaan dilakukan, diasumsikan gerak evolusi bumi sedang searah dengan gerak bumi terhadap universe.  Karena gerak kerangka pengamat yang disebabkan rotasi bumi relative jauh lebih lambat dibanding gerak karena evolusi bumi, maka pengaruh kecepatan rotasi bumi dalam pembahasan ini bisa diabaikan dulu. Tetapi gerak rotasi ini akan menyebabkan sudut α yang bervariasi sepanjang hari meskipun arah tube antara atom hydrogen dan pengamat tetap. Ini berarti v resultan saat objek dan pengamat relative diam adalah :

V = v_e + v_u ……………(12)

∆t dalam arah sumbu r :

V_or = V.cos(α) + V₁ …………………..(13)

V_pr = V.cos(α)  ………………………….(14)

Dalam kasus ini pengamat mendekati dengan kecepatan v_pr dan objek menjauhi dengan kecepatan v_or, sehingga persamaan dilasi waktu dalam sumbu r bisa dituliskan sebagai :

∆t_r (1 + (V_pr/c)) = ∆t_o (1+(v_or/c))  ………(15)

Dengan mensubsitusi persamaan (13) dan (14) kedalam persamaan (15) dan mengatur ulang, akan didapat :

∆t_{r =} ∆t_o[c+ V.cos(α) + V₁]/[c+ V.cos(α)  ]  …….(16)

∆t dalam arah bidang s :

V_os = V.sin(α)     ………………………(17)

V_ps = V.sin(α)  ………………………..(18)

Dalam kasus ini pengamat mendekati dengan kecepatan V_ps dan objek menjauhi dengan kecepatan V_os, sehingga persamaan dilasi waktu dalam bidang s bisa dituliskan sebagai :

∆t_s. √ (1+(v_ps/c)²)      = ∆t_o. √ (1+(v_os/c)²)      ……(19)

Berdasarkan hasil dalam persamaan (17) dan (18), bisa disimpulkan bahwa V_ps = V_os maka dilasi waktu dalam bidang s dalam persamaan (19) bisa dituliskan menjadi :

∆t_s = ∆t_o ……………….(20)

Frekuensi yang diamati :

Dengan memasukkan hasil  dalam persamaan (20) kedalam persamaan (4) akan dapat :

∆t = ∆t_r ………………….(21)

Hal ini konsisten dengan langkah yang diambil oleh Ives dan Stillwhell yang membuat persamaan efek doppler sendiri dengan penyesuaian terhadap rumus efek Doppler klasik akustik.  Jika persamaan efek Doppler Akustik klasik mempertimbangkan gerak relative bumi terhadap universe,  hasilnya memang sama dengan persamaan (21).

Dengan memasukkan persamaan (16) kedalam persamaan (21) akan didapat :

∆t = ∆t_o[c+ V.cos(α) + V₁]/[c+ V.cos(α)  ]  …….(22)

Dengan demikian periode T sesuai dengan persamaan (10) bisa dituliskan menjadi :

T = T_o [c+ V.cos(α) + V₁]/[c+ V.cos(α)  ] ………(23)

Atau efek doppler yang terjadi adalah :

f = f_o. [c+ V.cos(α)]/[c+ V.cos(α) + V₁ ]    …..(24)

Hasil dari persamaan 24 mengindikasikan bahwa dalam percobaan Ives dan Stillwell, perlu diketahui parameter V.cos(α) yang ditentukan oleh kecepatan bumi terhadap universe (V_u) untuk mendapatkan V sesuai dengan persamaan (12) dan sudut antara gerak hidrogen dengan pengamat terhadap kecepatan bumi. faktor V.cos(α) inilah yang menyebabkan pergeseran efek doppler pada percobaan tersebut.

Lebih jauh lagi, data-data percobaan seperti yang dilakukan Ives dan Stillwell jika dilakukan lengkap dalam siklus evolusi bumi bisa digunakan untuk mencari kecepatan bumi terhadap universe.

——————————